Los años bisiestos y el calendario

    Recientemente, todos hemos tenido ocasión de recordar que algunos años son lo que se denomina "bisiestos": En un año bisiesto, el mes de febrero tiene un día mas de lo habitual (29 días), y por tanto ese año tiene 366 días, en lugar de los 365 días de los años "normales". Esto es debido a que la duración del día, por una parte, y el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa a su órbita (el año), por otra, no están sincronizados. Es decir, un año no es un número entero de días. Hay varias formas de definir el año (ver este artículo de la Wikipedia). Una de ellas, llamada año trópico, es el tiempo que transcurre entre dos pasos sucesivos del Sol por el plano del Ecuador de la Tierra (equinoccios), y su duración es 365,2422 días.

     Por tanto, si utilizamos años de 365 días, estamos introduciendo un adelanto en las fechas respecto de la órbita del Sol (ya que el año del calendario es más corto que el año trópico), el cual se va acumulando poco a poco si no se corrige. Por ejemplo, si a partir de ahora decidiéramos suprimir los años bisiestos, como cada cuatro años se acumula un día de adelanto de la fecha respecto del año trópico, al cabo de un siglo el adelanto sería de 25 días. Con ello, el equinoccio de primavera, en el cual la duración de la noche es igual a la duración del día, caería en el 15 de abril, en lugar del 21 de marzo, como ocurre ahora.

     Este desfase ya había sido observado por los romanos, por lo que en la época de Julio César, y tras consultar al astrónomo Sosígenes de Alejandría, se decidió modificar el calendario introduciendo un día adicional un año de cada cuatro, con lo cual la duración media del año es 365+1/4 días = 365,25 días, muy próximo a 365,2422. Esto es lo que se denomina el Calendario Juliano.

  Pero, claro, ahora el año medio del calendario dura un poco más de lo que dura el año trópico, con lo que las fechas, en lugar de adelantarse al año trópico, se van retrasando. En el siglo XVI, el retraso era ya de diez días. Por ello, en la época del Papa Gregorio XIII (utilizando estudios realizados por los científicos de la Universidad de Salamanca) se decidió que el día siguiente al 4 de octubre de 1582 fuera el 15 de octubre de 1582, para recuperar los diez días, y que a partir de ese momento los años múltiplos de 100 solamente fueran bisiestos si son múltiplos de 400 (Calendario Gregoriano)

     Es fácil ver que ahora la duración del año medio es 365 días +1/4 (por el día adicional de los años bisiestos) -1/100 (por quitar los años bisiestos múltiplos de 100) +1/400 (por añadir de nuevo el año bisiesto los años múltiplos de 400). Es decir, la duración del año medio en el Calendario Gregoriano es 365+1/4-1/100+1/400 = 365,2425 días, mucho más próximo al valor exacto de 365,2422.

     El calendario gregoriano tampoco es una solución definitiva, pero es bastante aceptable. Ahora, el año medio es 0,0003 días más largo que el año trópico, con lo cual cada año se acumula un retraso de 0.0003 días · (24·3600) segundos/día = 26 segundos aproximadamente. Es decir, dentro de 1000 años se habrá producido un retraso acumulado de 26.000 segundos/3600 segundos/hora = 7,2 horas. Se tardarán por tanto unos 3.300 años en acumular un retraso de un día, por lo que no parece un problema demasiado preocupante.

Curiosidades en relacion con los años bisiestos

   Asociadas a los años bisiestos hay diversas curiosidades y anécdotas. A continuación recojo algunas de ellas:

• El nombre “año bisiesto” se debe a que los romanos colocaron el día adicional a continuación del sexto día antes del mes de marzo, con lo cual ese día adicional se convirtió en “el segundo día sexto”: “bis sextus dies” en latín.

• En inglés, los años bisiestos se llaman “leap years”, literalmente “años del salto”. Esto es debido a que en los años normales, una fecha concreta (por ejemplo, el 3 de marzo) avanza un día de la semana de un año para otro (¿por qué?), y sin embargo en los bisiestos avanza dos (“da un salto”). Es decir, el 3 de marzo de 2014 cayó en lunes, y el 3 de marzo de 2015 cayó en martes. Sin embargo, el 3 de marzo de 2016, que es bisiesto, no cayó en miércoles, sino en jueves.

• Los nacidos el 29 de febrero de un año bisiesto (unos 5 millones de personas en todo el mundo) cumplen años legalmente el 28 de febrero de los años normales. Sin embargo, hay todo tipo de bromas sobre ellos: se empiezan a afeitar a los 5 años (si son varones), se jubilan a los 15 años, etc.

• Teresa de Cepeda, conocida como Santa Teresa de Jesús, murió el 4 de octubre de 1582, y fue enterrada el 16 de octubre de 1582 (¿12 días sin enterrar?)

• En otras épocas, era costumbre que los hombres (y no las mujeres) fueran quienes propusieran matrimonio. Sin embargo, en Inglaterra e Irlanda, existía una tradición según la cual las mujeres podían proponer matrimonio los años bisiestos.

• En los países no católicos, el calendario gregoriano se adoptó mucho después que en Francia, Italia, Portugal o España. Por ejemplo, Inglaterra no adoptó el calendario gregoriano hasta 1752, y Rusia hasta 1918. Así, cuando se dice que Cervantes y Shakespeare murieron el mismo día (23 de abril de 1616), es inexacto. Murieron en la misma fecha, pero en días diferentes: el 23 de abril del calendario gregoriano, y el 23 de abril del calendario juliano, respectivamente.

• Cuando se adoptó en Inglaterra el calendario gregoriano, hubo motines, en los que los amotinados clamaban: “!Devolvednos nuestros diez días!”. Esto era debido a que en los salarios se descontaron los 10 días suprimidos del mes en el que se produjo el cambio, y los amotinados querían que el salario fuese el mismo que el resto de los meses.

• En la narración de Isaac Asimov “The year of the action”, de la colección de cuentos de misterio “El Club de los Viudos Negros”, se utiliza como parte del enigma las propiedades de los años bisiestos.

Actividades

Para 3º ESO: Actividades 1, 2, 3 y 4

Para 4º ESO: Actividades 4, 5 y 6 (y 7, si os animáis)

Para 1º BACH: Actividades 5, 6 y 7

Fecha límite de entrega: 10 de abril de 2016
Grupos: Máximo 3 personas

Actividad 1

Explica, con la ayuda de un dibujo de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, por qué al utilizar siempre un año de 365 días (es decir, sin años bisiestos), la fecha se va adelantando un día cada cuatro años.

Actividad 2

Comprueba que la duración media del año en el calendario gregoriano es 365,2425 dias. Expresa esta cantidad en días, horas, minutos y segundos.

Actividad 3

¿Cuál sería la duración media del año si en el calendario gregoriano ningún año múltiplo de 100 fuera bisiesto? ¿Cuántos años pasarían en este caso hasta que se produjera un desfase de un día entre la fecha y el año trópico?

Actividad 4

(Calendarios alternativos)

     El calendario gregoriano, utilizado actualmente, tiene varios inconvenientes:

• Los meses tienen un número diferente de días

• Un día concreto del año (por ejemplo, el 3 de marzo) cae en un día diferente de la semana cada año.

     Para evitar estos problemas, se han propuesto a lo largo del tiempo diferentes calendarios alternativos:

• El de Mastrofini (1834). De acuerdo con este calendario, el año tendría 52 semanas de 7 días, seguidas de un “día en blanco”, que no correspondería con ningún día de la semana. ¿Qué ventajas tendría este calendario?

• El calendario de Augusto Comte (1849), formado por 13 meses (en lugar de 12) de 28 días. Cada mes empezaría en domingo y terminaría en sábado, y se añadiría también un día en blanco, como en el calendario de Mastrofini. ¿Qué ventajas y qué inconvenientes tendría este calendario?

Actividad 5.

(Calendario revolucionario.)

    Los revolucionarios franceses de 1793 deseaban romper con el pasado en todos los aspectos posibles, incluyendo el calendario. Por ello, diseñaron un nuevo calendario, que estuvo en vigor hasta 1806. Fue diseñado por varios matemáticos y astrónomos (y un poeta, Fabre d'Eglantine, que fué el autor de los nuevos nombres de los meses). Este calendario tenía 12 meses de 30 días cada uno, con cinco días extra al final del año, que en el caso de los años bisiestos se convertían en seis días, en lugar de cinco. La regla para determinar qué años eran bisiestos, más complicada que la del calendario gregoriano, era la siguiente:

• Cada cuatro años se introduce un año bisiesto. Sin embargo, si el año es múltiplo de 100, no es bisiesto, excepto si es múltiplo de 400. Hasta aquí, todo es como en el calendario gregoriano. La diferencia es la siguiente: Si el año múltiplo de 400 es también múltiplo de 4000, en ese caso no es bisiesto. Con esta regla, aparte de dejar clara su intención de que el calendario revolucionario se utilizara durante mucho tiempo, se pretendía que la duración media del año se aproximase más que la del gregoriano a la duración del año trópico (astronómico).

     La pregunta es: ¿Lo consiguieron? ¿Es más exacta la duración del año en el calendario revolucionario?

Actividad 6

(Fracciones continuas)

     Desde la Antigüedad se utiliza, para aproximar números reales mediante una fracción, el método de las fracciones continuas. Una explicación, junto con un ejemplo de su aplicación al número pi la tenéis aquí.

     Utilizando este método, calculad la cuarta fracción reducida de la duración del año trópico (365,2422 días), y comprobad que equivale a la fracción 365+ 8/33. ¿Qué error se comete al utilizar esta aproximación? ¿Es mejor o peor esta aproximación que la del calendario gregoriano?

    En el siglo XI, el poeta y matemático persa Omar Khayyam propuso un nuevo calendario, que utilizaba un ciclo de 33 años, durante el cual los años 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 y 33 eran años bisiestos. ¿Qué relación tiene este calendario con la aproximación anterior?

Actividad 7

(Fracciones egipcias)

    Se denominan “Fracciones egipcias” a las fracciones que tienen numerador igual a 1. Se llaman así porque eran las únicas utilizadas por los egipcios.

    Una fracción cualquiera se puede descomponer en una suma algebraica (es decir, sumas y restas) de fracciones egipcias. Un ejemplo lo tenemos en la aproximación utilizada en el calendario gregoriano, ya que la parte decimal de 365+1/4-1/100+1/400 es una suma algebraica de fracciones egipcias.

    Hay varios procedimientos para descomponer una fracción cualquiera en suma de fracciones egipcias. El primer ejemplo de un algoritmo de este tipo para las fracciones egipcias se debe a Fibonacci (el de los números de Fibonacci). Se trata de un procedimiento o algoritmo denominado "algoritmo voraz" ("greedy algorithm", en inglés) Con este algoritmo, se obtiene una descomposición en fracciones egipcias que no siempre es la más corta, aunque la descomposición siempre consiste en suma de fracciones (sin restas). En esta página (en inglés), en el apartado 4 ("A Calculator to convert a Fraction to and from an Egyptian Fraction") se puede calcular inmediatamente la descomposición de una fracción en fracciones egipcias positivas.

     En este documento, os explico una variante que permite descomponer una fracción en sumas y restas de fracciones egipcias, con lo cual el desarrollo a veces es más corto.

    Utilizando este procedimiento, deducid una descomposición en fracciones egipcias positivas y negativas de la fracción 8/33, la cual hemos averiguado antes mediante el método de la fracción continua. ¿Como sería el calendario construido a partir de ella?

     Comparad la descomposición obtenida con la que se obtiene mediante la calculadora de fracciones egipcias. ¿Cuál es más corta?